Question

10．已知函数f（x）=x²+2x（x＞0），f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f（f_n（x）），n∈N^*，则f₅（x）在[1，2]上的最大值是（　　）

• A． 2¹⁰-1
• B． 2³²-1
• C． 3¹⁰-1
• D． 3³²-1

Answer 1

分析 易知f（x）=x²+2x=（x+1）²-1在（0，+∞）上是增函数，且f（x）＞0；从而依次代入化简即可．

解答 解：f（x）=x²+2x=（x+1）²-1在（0，+∞）上是增函数，且f（x）＞0；
f₁（x）=f（x）=x²+2x，
故f₁（x）_max=3²-1，
f₂（x）_max=f（f₁（x）_max）=f（3²-1）=（3²-1+1）²-1=3⁴-1，
f₃（x）_max=f（f₂（x）_max）=f（3⁴-1）=（3⁴-1+1）²-1=3⁸-1，
f₄（x）_max=f（f₃（x）_max）=f（3⁸-1）=（3⁸-1+1）²-1=3¹⁶-1，
f₅（x）_max=f（f₄（x）_max）=f（3¹⁶-1）=（3¹⁶-1+1）²-1=3³²-1，
故选D．

点评 本题考查了函数的性质的判断与应用及整体思想的应用．