Question

(12分)古代印度婆罗门教寺庙内的僧侣们曾经玩过一种被称为“河内宝塔问题”的游戏，其玩法如下：如图，设有个圆盘依其半径大小，大的在下，小的在上套在柱上，现要将套在柱上的盘换到柱上，要求每次只能搬动一个，而且任何时候不允许将大盘套在小盘上面，假定有三根柱子可供使用.

现用表示将个圆盘全部从柱上移到柱上所至少需要移动的次数，回答下列问题：
(1)写出 并求出(2)记 求和
(其中表示所有的积的和)
(3)证明：

Answer 1

(Ⅰ)   (Ⅱ)   （Ⅲ）见解析

(1)解：
事实上，要将个圆盘全部转移到柱上，只需先将上面个圆盘转移到柱上，需要
次转移，然后将最大的那个圆盘转移到柱上，需要一次转移，再将柱上的个圆盘转移到柱上，需要次转移，所以有
则 所以
(2)
则



(3)令 则当时


又 所以对一切有：


另方面恒成立，所以对一切有

综上所述有：