Question

已知等差数列中，公差，其前项和为，且满足，
.
（1）求数列的通项公式；
（2）设由（）构成的新数列为，求证：当且仅当时，数列是等差数列；
（3）对于（2）中的等差数列，设（），数列的前
项和为，现有数列，（），
是否存在整数，使对一切都成立？若存在，求出的最小
值，若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）   （2）见解析 
（3）存在不小于13的整数，使对一切都成立，

  （1）∵等差数列中，公差，
∴ （4分）
（2），，        （6分）
由得，化简得，∴（8分）
反之，令，即得，显然数列为等差数列，
∴ 当且仅当时，数列为等差数列.                   （10分）
（3）
∴
     （12分）

∴当时，，当时，，当时，，∴，      （14分）
∴存在不小于13的整数，使对一切都成立，   （16分）