Question

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n.
(Ⅰ)若S_m，S_m＋2，S_m＋1成等差数列，证明a_m，a_m＋2，a_m＋1成等差数列；
(Ⅱ)写出(Ⅰ)的逆命题，判断它的真伪，并给出证明.

Answer 1

（Ⅰ）见解析     （Ⅱ） 见解析

(Ⅰ) ∵S_m＋1＝S_m＋a_m＋1，S_m＋2＝S_m＋a_m＋1＋a_m＋2．
由已知2S_m＋2＝S_m＋S_m＋1，∴ 2(S_m＋a_m＋1＋a_m＋2)＝S_m＋(S_m＋a_m＋1)，
∴a_m＋2＝－a_m＋1，即数列{a_n}的公比q＝－.
∴a_m＋1＝－a_m，a_m＋2＝a_m，∴2a_m＋2＝a_m＋a_m＋1，∴a_m，a_m＋2，a_m＋1成等差数列.
(Ⅱ) (Ⅰ)的逆命题是：若a_m，a_m＋2，a_m＋1成等差数列，则S_m，S_m＋2，S_m＋1成等差数列.
设数列{a_n}的公比为q，∵a_m＋1＝a_mq，a_m＋2＝a_mq²．
由题设，2a_m＋2＝a_m＋a_m＋1，即2a_mq²＝a_m＋a_mq，即2q²－q－1＝0，
∴q＝1或q＝－.
当q＝1时，A≠0，∴S_m， S_m＋2， S_m＋1不成等差数列.
逆命题为假.