【题目】已知函数,
.
(1)当时,求曲线
在点
处的切线方程;
(2)求函数在
上的极值;
(3)设函数,若
,且对任意的实数
,不等式
恒成立(e是自然对数的底数),求实数a的取值范围.
【答案】(1);(2)当
时,
无极值;当
时,
的极小值为
,无极大值;(3)
.
【解析】
(1)代入,求导,求出斜率和切点,利用点斜式可写出直线方程;
(2)求导,分类讨论求出函数在
上单调性,列表,找到极值点,进而可得极值;
(3)对任意的,
恒成立,先通过
估算实数a的取值范围,再分
和
讨论,求导,求出
的最大值,列不等式求解即可.
(1)当时,
,
,
所以,
,
所以曲线在点
处的切线方程为
即;
(2),
.
①当时,
,
在
上单调增,所以
无极值;
②当时,令
,得
,列表如下:
x | |||
0 | |||
极小值 |
所以的极小值为
.
综上所述,当时,
无极值;
当时,
的极小值为
,无极大值;
(3)因为.
由题意,对任意的,
恒成立,所以
,
解得,又
,所以
.
①当时,因为
,所以
,当且仅当
时,取等号.
由(2)知,在
上单调增,所以
.
所以,当且仅当
时,取等号,
所以在
上单调增,则
,
解得,此时,
.
②当时,由(2)知,
在
上单调递增,且
,
又,所以存在
,且
,使得
,
即,得
.
所以的解为
和a,列表如下:
x | a | ||||
0 | 0 | ||||
极大值 | 极小值 |
所以,
,即
,
又,所以
恒成立,此时,
.
综上所述,实数a的取值范围为.
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【题目】已知甲、乙、丙三位同学在某次考试中总成绩列前三名,有,
,
三位学生对其排名猜测如下:
:甲第一名,乙第二名;
:丙第一名;甲第二名;
:乙第一名,甲第三名.成绩公布后得知,
,
,
三人都恰好猜对了一半,则第一名是__________.
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【题目】(1)利用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间的简图.
列表:
x | |||||
y |
作图:
(2)并说明该函数图象可由的图象经过怎么变换得到的.
(3)求函数图象的对称轴方程.
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【题目】如图,点是抛物线
上位于第一象限内一动点,
是焦点,圆
:
,过点
作圆
的切线交准线于
,
两点.
(Ⅰ)记直线,
的斜率分别为
,
,若
,求点
的坐标;
(Ⅱ)若点的横坐标
,求
面积
的最小值.
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,
,离心率为
,过
作直线
与椭圆
交于
,
两点,
的周长为8.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)问:的内切圆面积是否有最大值?若有,试求出最大值;若没有,说明理由.
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【题目】如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.
(1)证明:l⊥平面PDC;
(2)已知PD=AD=1,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.
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