【题目】图1是由正方形,直角梯形
,三角形
组成的一个平面图形,其中
,
,将其沿
,
折起使得
与
重合,连接
,如图2.
(1)证明:图2中的,
,
,
四点共面,且平面
平面
;
(2)求图2中的二面角的大小.
【答案】(1)见解析;
(2).
【解析】
(1)根据平行的传递性,可证明四点共面,要证明面面垂直,可转化为证明线面垂直,即证明平面
,转化为证明
,
;
(2)过点作
的垂线,垂足为
,过点
作
的垂线,垂足为
,则
,
,由(1)可知点
为
中点,可以
,
,
所在直线分别为
轴、
轴和
轴,建立如图所示的空间直角坐标系
,分别求两个平面的法向量
,求二面角的大小转化为
求解.
(1)证明:因为正方形中,
,梯形
中,
,所以
,
所以,
,
,
四点共面:
因为,所以
,因为
,
,所以
平面
,
因为平面
,所以
,
在直角梯形中,
,
,
,可求得
,
同理在直角梯形中,可求得
,又因为
,
则,由勾股定理逆定理可知
,
因为,
,所以
平面
,
因为平面
,故平面
平面
,
即平面平面
.
(2)解:过点作
的垂线,垂足为
,过点
作
的垂线,垂足为
,则
,
,
由(1)可知点为
中点,且
,则
,
故可以,
,
所在直线分别为
轴、
轴和
轴,建立如图所示的空间直角坐标系
,
则各点坐标依次为:,
,
,
,
,
,
所以,
,设
为平面
的一个法向量,则
可取
,则
,
又,设
为平面
的一个法向量,则
可取
,则
,
所以,
结合图形可知二面角的大小为
.
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【题目】一个国际象棋棋盘(由8×8个方格组成),其中有一个小方格因破损而被剪去(破损位置不确定).“L”形骨牌由三个相邻的小方格组成,如图所示.现要将这个破损的棋盘剪成数个“L”形骨牌,则( )
A.至多能剪成19块“L”形骨牌
B.至多能剪成20块“L”形骨牌
C.最多能剪成21块“L”形骨牌
D.前三个答案都不对
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【题目】已知椭圆的焦距为2,过点
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设椭圆的右焦点为F,定点,过点F且斜率不为零的直线l与椭圆交于A,B两点,以线段AP为直径的圆与直线
的另一个交点为Q,证明:直线BQ恒过一定点,并求出该定点的坐标.
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【题目】中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)的一种,现有十二生肖的吉物各一个,甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物,甲同学喜欢牛和马,乙同学喜欢牛、兔、狗和羊,丙同学哪个吉祥物都喜欢,如果让三位同学选取的礼物都满意,那么不同的选法有( )
A. 50种B. 60种C. 70种D. 90种
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【题目】已知函数为自然对数的底数),
.
(Ⅰ)当时,求函数
的单调区间和极值;
(Ⅱ)已知函数在
上为增函数,且
,若在
上至少存在一个实数
,使得
成立,求
的取值范围.
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【题目】已知函数f(x),g(x)=|xlnx﹣ax2|,a
.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若g(x)在区间(1,e)有极小值,求a的取值范围.
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