Question

3．2016年春节期间全国流行在微信群里发、抢红包，现假设某人将688元发成手气红包50个，产生的手气红包频数分布表如表：

全额分组	[1，5）	[5，9）	[9，13）	[13，17）	[17，21）	[21，25]
频数	3	9	17	11	8	2

（I）求产生的手气红包的金额不小于9元的频率；
（Ⅱ）估计手气红包金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅲ）在这50个红包组成的样本中，将频率视为概率．
（i）若红包金额在区间[21，25]内为最佳运气手，求抢得红包的某人恰好是最佳运气手的概率；
（ii）随机抽取手气红包金额在[1，5）∪[-21，25]内的两名幸运者，设其手气金额分别为m，n，求事件“|m-n|＞16”的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意利用互斥事件概率加法公式能求出产生的手气红包的金额不小于9元的频率．
（Ⅱ）先求出手气红包在[1，5）、[5，9）、[9，13）、[13，17）、[17，21）、[21，25]内的频率，由此能求了出手气红包金额的平均数．
（Ⅲ）（i）由题可知红包金额在区间[21，25]内有两人，由此能求出抢得红包的某人恰好是最佳运气手的概率．
（ii）由频率分布表可知，红包金额在[1，5）内有3人，在[21，25]内有2人，由此能求出事件“|m-n|＞16“的概率P（|m-n|＞16）．

解答 解：（Ⅰ）由题意得产生的手气红包的金额不小于9元的频率：
p=$\frac{17+11+8+2}{50}$=$\frac{19}{25}$，
∴产生的手气红包的金额不小于9元的频率为$\frac{19}{25}$．
（Ⅱ）手气红包在[1，5）内的频率为$\frac{3}{50}$=0.06，
手气红包在[5，9）内的频率为$\frac{9}{50}$=0.18，
手气红包在[9，13）内的频率为$\frac{17}{50}$=0.34，
手气红包在[13，17）内的频率为$\frac{11}{50}$=0.22，
手气红包在[17，21）内的频率为$\frac{8}{50}$=0.16，
手气红包在[21，25]内的频率为$\frac{2}{50}$=0.04，
则手气红包金额的平均数为：
$\overline{x}$=3×0.06+7×0.18+11÷0.34+15×0.22+19×0.16+23×0.04=12.44．
（Ⅲ）（i）由题可知红包金额在区间[21，25]内有两人，
∴抢得红包的某人恰好是最佳运气手的概率p=$\frac{2}{50}$=$\frac{1}{25}$．
（ii）由频率分布表可知，红包金额在[1，5）内有3人，
设红包金额分别为a，b，c，在[21，25]内有2人，
设红包金额分别为x，y，
若m，n均在[1，5）内，有3种情况：（a，b），（a，c），（b，c），
若m，n均在[21，25]内只有一种情况：（x，y），
若m，n分别在[1，5）和[21，25）内，有6种情况，
即（a，x），（a，y），（b，x），（b，y），（c，x），（c，y），
∴基本事件总数n=10，
而事件“|m-n|＞16“所包含的基本事件有6种，
∴P（|m-n|＞16）=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查频率的求法，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频数分布表的性质的合理运用．