Question

已知圆C的圆心在直线y=4上，且过点A（4，8），B（8，4）．
（1）求圆的方程；
（2）过P（8，-2）作圆的切线，求切线方程．

Answer 1

解：（1）由题意设圆心坐标为（a，4），则
∵圆C过点A（4，8）和B（8，4），
∴（a-4）²+（8-4）²=（a-8）²+（4-4）²，
∴a=4，∴（a-8）²+（4-4）²=16
∴圆C的标准方程为：（x-4）²+（y-4）²=16
（2）设所求切线的向量为k，则由点斜式可得
y+2=k（x-8），即kx-y-8k-2=0，
故圆心（4，4）到直线的距离等于半径4，
即，解得k=，
即切线方程为：5x+12y-16=0，
又直线无斜率时，直线方程为x=8符合题意
故所求切线的方程为：5x+12y-16=0，或x=8
分析：（1）由题意设圆心坐标为（a，4），由AC=BC可解a的值，进而可得圆的方程；
（2）设所求切线的向量为k，由圆心到直线的距离等于半径可得k的值，验证当直线的斜率不存在时也符合题意，防止漏解．
点评：本题考查圆的标准方程和切线，注意当直线无斜率的情况是解决问题的关键，属中档题．