Question

12．教材曾有介绍：圆x²+y²=r²上的点（x₀，y₀）处的切线方程为x₀x+y₀y=r²．我们将其结论推广：椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上的点（x₀，y₀）处的切线方程为$\frac{{{x_0}x}}{a^2}+\frac{{{y_0}y}}{b^2}$=1，在解本题时可以直接应用．已知，直线x-y+$\sqrt{3}$=0与椭圆C₁：$\frac{x^2}{a^2}+{y^2}$=1（a＞1）有且只有一个公共点．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设O为坐标原点，过椭圆C₁上的两点A、B分别作该椭圆的两条切线l₁、l₂，且l₁与l₂交于点M（2，m）．当m变化时，求△OAB面积的最大值；
（3）若P₁，P₂是椭圆C₂：$\frac{x^2}{{2{a^2}}}+{y^2}$=1上不同的两点，P₁P₂⊥x轴，圆E过P₁，P₂，且椭圆C₂上任意一点都不在圆E内，则称圆E为该椭圆的一个内切圆．试问：椭圆C₂是否存在过左焦点F₁的内切圆？若存在，求出圆心E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将直线y=x+$\sqrt{3}$代入椭圆方程，得到x的方程，由直线和椭圆相切的条件：判别式为0，解方程可得a的值；
（2）设切点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得切线l₁：x₁x+2y₁y=2，l₂：x₂x+2y₂y=2，再由M代入上式，结合两点确定一条直线，可得切点弦方程，即有AB的斜率，结合两点的斜率公式，由①可得AB的方程为x+my=1，运用点到直线的距离公式和直线与椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，求得△OAB的面积，化简整理，运用基本不等式即可得到所求最大值；
（3）依题意可得符合要求的圆E，即为过点F，P₁，P₂的三角形的外接圆．所以圆心在x轴上．根据题意写出圆E的方程．由于圆的存在必须要符合，椭圆上的点到圆E距离的最小值是|P₁E|，结合图形可得圆心E在线段P₁P₂上，半径最小．又由于点F₁已知，即可求得结论．

解答 解：（1）将直线y=x+$\sqrt{3}$代入椭圆方程x²+a²y²=a²，
可得（1+a²）x²+2$\sqrt{3}$a²x+2a²=0，
由直线和椭圆相切，可得
△=12a⁴-4（1+a²）•2a²=0，
解得a=$\sqrt{2}$（由a＞1），
即有椭圆C₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）设切点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得切线l₁：x₁x+2y₁y=2，
l₂：x₂x+2y₂y=2，
由l₁与l₂交于点M（2，m），可得
2x₁+2my₁=2，2x₂+2my₂=2，
由两点确定一条直线，可得AB的方程为2x+2my=2，
即为x+my=1，
原点到直线AB的距离为d=$\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+my=1}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$消去x，可得（2+m²）y²-2my-1=0，
y₁+y₂=$\frac{2m}{2+{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{1}{2+{m}^{2}}$，
可得|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{\frac{8（1+{m}^{2}）}{（2+{m}^{2}）^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{2}（1+{m}^{2}）}{2+{m}^{2}}$，
可得△OAB的面积S=$\frac{1}{2}$d|AB|=$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{1+{m}^{2}}}{2+{m}^{2}}$，
设t=$\sqrt{1+{m}^{2}}$（t≥1），
S=$\frac{\sqrt{2}t}{1+{t}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{t+\frac{1}{t}}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当且仅当t=1即m=0时，S取得最大值$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（3）由椭圆的对称性，可以设P₁（m，n），P₂（m，-n），点E在x轴上，设点E（t，0），
则圆E的方程为：（x-t）²+y²=（m-t）²+n²，
由内切圆定义知道，椭圆上的点到点E距离的最小值是|P₁E|，
设点M（x，y）是椭圆C₂：x²+4y²=4上任意一点，
则|ME|²=（x-t）²+y²=$\frac{3}{4}$x²-2tx+t²+1，
当x=m时，|ME|²最小，∴m=-$\frac{-4t}{3}$=$\frac{4t}{3}$，①，
又圆E过点F₁，∴（-$\sqrt{3}$-t）²=（m-t）²+n²，②
点P₁在椭圆上，∴n²=1-$\frac{{m}^{2}}{4}$，③
由①②③，解得：t=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$或t=-$\sqrt{3}$，
又t=-$\sqrt{3}$时，m=-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$＜-2，不合题意，
综上：椭圆C₂存在符合条件的内切圆，点E的坐标是（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0）．

点评 本题考查直线和椭圆的位置关系的判断，考查直线和椭圆相切的条件：判别式为0，以及切线的方程的运用，同时考查直线和椭圆相交的弦长公式和三角形的面积的最值的求法，注意运用基本不等式，属于难题．