Question

已知函数f（x）=ax²+1（a＞0），g（x）=x³+bx．
（1）若曲线y=g（x）与y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a，b，c的值；
（2）当a²+b=0时，求函数f（x）+g（x）在区间（-∞，-1]上的最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a、b的值；
（2）根据a²+b=0，构建函数，求导函数，利用导数的正负，可确定函数的单调区间，进而分类讨论，确定函数在区间（-∞，-1]上的最大值．

解答： 解：（1）f（x）=ax²+1（a＞0），则f′（x）=2ax，k₁=2a，
g（x）=x³+bx，则g′（x）=3x²+b，k₂=3+b，
由（1，c）为公共切点，可得：2a=3+b  ①
又f（1）=a+1=c，g（1）=1+b=c，
∴a+1=1+b，即a=b，代入①式可得：a=3，b=3．c=4．
（2）由a²+b=0得b=-a²，设h（x）=f（x）+g（x）=ax²+1+x³-a²x．
则h′（x）=3x²+2ax-a²=（x+a）（3x-a），令h′（x）=0，解得：x=-a＜0或x=

a

3

＞0，

x	（-∞，-a）	-a	（-a，0）
h′（x）	+		-
h（x）	单调递增	极大值	单调递减

∴原函数在（-∞，-a））单调递增，在（-a，0）单调递减，
①若-1≤-a，即0＜a≤1时，此时函数在区间（-∞，-1]单调递增，最大值为h（-1）=a²+a；
②若-1＞-a，即a＞时，最大值为最大值为h（-a）=a³+1
综上所述：当a∈（0，1]时，最大值为h（-1）=a²+a；
当a∈（1，+∞）时，最大值为h（-a）=a³+1．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，解题的关键是正确求出导函数．综合性较强．