Question

已知各项均为正数的数列{a_n}，若前n项和为S_n，且满足2S_n=a_n²+a_n，若数列{

1

an

²}的前n项和为T_n，求证：T_n＜

7

4

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：首先根据2a1=a12+a1，求出a₁=1，2S_n=a_n²+a_n…①，2S_n-1=a_n-1²+a_n-1…②，①-②，求出数列{a_n}的通项公式；然后求出数列{

1

an

²}的前n项和T_n，n=1时，T1=a1=1＜

7

4

成立，当n＞1时，

1

n2

＜

1

n(n-1)

＜

1

n-1

-

1

n

，据此证明T_n＜

7

4

即可．

解答： 证明：（1）因为2S_n=a_n²+a_n…①，所以2a1=a12+a1，
解得a₁=1或0（舍去），
且2S_n-1=a_n-1²+a_n-1…②，
①-②，可得2an=an2-an-12+an-an-1，
整理，可得（a_n-a_n-1-1）（a_n+a_n-1）=0；
又因为数列{a_n}各项均为正数，
所以a_n-a_n-1-1=0，即a_n=a_n-1+1，
因此{a_n}为等差数列，a_n=n，
经检验，a₁=1也符合上式，
所以数列{a_n}的通项公式为：a_n=n；
（2）由（1）知T_n=

1

12

+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

，
n=1时，T1=a1=1＜

7

4

成立，
当n＞1时，

1

n2

＜

1

n(n-1)

＜

1

n-1

-

1

n

，
T_n=

1

12

+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜1+(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)=2-

1

n

＜

3

2

＜

7

4

，
所以T_n＜

7

4

成立．

点评：本题主要考查了等差数列的通项公式的运用，考查了数列的求和，属于中档题，解答此题的关键是根据题意求出数列{a_n}的通项公式．