Question

如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=

π

3

，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点．
（1）证明：直线MN∥平面OCD；
（2）求异面直线AB与MD所成角的余弦值．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取OB中点E，连结ME，NE，由已知条件推导出平面MNE∥平面OCD，由此能证明MN∥平面OCD．
（2）由AB∥CD，得AB与直线MD所成的角为∠MDC，由此利用余弦定理能求出异面直线AB与MD所成角的余弦值．

解答： （1）证明：取OB中点E，连结ME，NE，
∵ME∥AB，AB∥CD，
∴ME∥CD，
又∵NE∥OC，
∴平面MNE∥平面OCD，
∴MN∥平面OCD．
（2）∵AB∥CD，∴AB与直线MD所成的角为CD与MD所成的角∠MDC，
∵AD=AB=BC=1，∠ABC=

π

3

，∴AC=1，
∵M为OA的中点，∴AM=1，
∵OA⊥AD∴MD=MC=

2

，
cos∠MDC=

1+2-2

2×1× 2

=

2

4

，
∴异面直线AB与MD所成角的余弦值为

2

4

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．