Question

2．函数g（x）=-x³+2x²+mx+5在（-∞，+∞）内单调递减，则实数m的取值范围是（-∞，-$\frac{4}{3}$]．

Answer 1

分析 对函数进行求导，通过导函数≤0，就是在（-∞，+∞）内单调递减，利用函数的最值，解之即可．

解答 解：函数g（x）=-x³+2x²+mx+5，g′（x）=-3x²+4x+m
∵函数g（x）=-x³+2x²+mx+5在（-∞，+∞）内单调递减，
∴g′（x）=-3x²+4x+m≤0在（-∞，+∞），恒成立，
即m≤3x²-4x，y=3x²-4x开口向上，对称轴是x=$\frac{2}{3}$，
函数3x²-4x≥3×$（{\frac{2}{3}）}^{2}$-4×$\frac{2}{3}$=$-\frac{4}{3}$．
∴m$≤-\frac{4}{3}$．
故答案为：（-∞，-$\frac{4}{3}$]．

点评 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系．即当导数大于0是原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减．考查函数恒成立，转化思想的应用．