Question

12．已知函数f（x）=sinωx（sinωx+2$\sqrt{3}$cosωx）+sin（ωx-$\frac{π}{4}$）sin（ωx+$\frac{π}{4}$）（其中ω为常数，且ω＞0），函数g（x）=f（x）-$\frac{5}{2}$的部分图象如图所示．
（I）求函数g（x）的单凋递减区间；
（Ⅱ）当x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]时，求函数f（x）的取值范围．

Answer 1

分析 解：（Ⅰ）化简函数f（x），写出函数g（x）=f（x）-$\frac{5}{2}$的解析式，结合图象求出g（x）的解析式与单调递减区间；
（Ⅱ）利用正弦函数的图象与性质，求出x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]时函数f（x）的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=sinωx（sinωx+2$\sqrt{3}$cosωx）+sin（ωx-$\frac{π}{4}$）sin（ωx+$\frac{π}{4}$）
=sin²ωx+2$\sqrt{3}$sinωxcosωx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinωx-cosωx）•$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinωx+cosωx）
=sin²ωx+2$\sqrt{3}$sinωxcosωx+$\frac{1}{2}$（sin²ωx-cos²ωx）
=$\frac{1}{2}$（1-cos2ωx）+$\sqrt{3}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx
=$\sqrt{3}$sin2ωx-cos2ωx+$\frac{1}{2}$
=2sim（2ωx-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∴函数g（x）=f（x）-$\frac{5}{2}$=2sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）-2；
由图象知，$\frac{T}{2}$=$\frac{5π}{6}$-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，
解得T=2，即$\frac{2π}{2ω}$=π，
解得ω=1，
∴g（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）-2；
∴函数g（x）的单凋递减区间是[$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{5π}{6}$+kπ]，k∈Z；
（Ⅱ）当x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]时，2x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]，
2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{3}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，
∴2sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-2，$\sqrt{3}$]，
∴2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$∈[-$\frac{3}{2}$，$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$]，
即函数f（x）的取值范围是[-$\frac{3}{2}$，$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质的应用问题，也考查了三角函数的恒等变换问题，是基础题目．