Question

（2009•聊城二模）如图所示的多面体，它的正视图为直角三角形，侧视图为矩形，俯视图为直角梯形（尺寸如图所示）

（1）求证：AE∥平面DCF；
（2）若M是AE的中点，AB=3，∠CEF=90°，求证：平面AEF⊥平面BMC．

Answer 1

分析：（1）证法1（线面平行的判定定理法）：过点E作EG⊥CF于G，连结DG，可证得四边形ADGE为平行四边形，进而AE∥DG，结合线面平行的判定定理得到答案．
证法2：（面面平行的性质法）：由四边形BEFC为梯形，可得BE∥CF，结合线面平行的判定定理可得BE∥平面DCF，同理由AB∥DC，可证AB∥平面DCF，由面面平行的判定定理得到平面ABE∥平面DCF，进而由面面平行的性质得到答案．
（2）由面面垂直的判定定理得证．

解答：（1）证法1：过点E作EG⊥CF交CF于G，连结DG，可得四边形BCGE为矩形，
又四边形ABCD为矩形，所以AD=EG，从而四边形ADGE为平行四边形故AE∥DG    
因为AE?平面DCF，DG?平面DCF，
所以AE∥平面DCF   
证法2：（面面平行的性质法）
因为四边形BEFC为梯形，所以BE∥CF．
又因为BE?平面DCF，CF?平面DCF，
所以BE∥平面DCF．
因为四边形ABCD为矩形，所以AB∥DC．同理可证AB∥平面DCF．
又因为BE和AB是平面ABE内的两相交直线，
所以平面ABE∥平面DCF．
又因为AE?平面ABE，所以AE∥平面DCF．
（2）在Rt△EFG中，∠CEF=90°，EG=

3

，EF=2．∴∠GEF=30°，GF=

1

2

EF=1．
在RT△CEG中，∠CEG=60°，∴CG=EGtan60°=3，BE=3．∵AB=3，M是AE中点，∴BM⊥AE，由侧视图是矩形，俯视图是直角梯形，
得BC⊥AB，BC⊥BE，∵AB∩BM=B，∴AE⊥平面BCM
又∵AE?平面ACE，∴平面ACE⊥平面BCM．

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，由三视图还原实物图，
其中（1）的关键是熟练掌握线面平行证明的方法和步骤，（2）的关键是熟练掌握面面垂直证明的方法和步骤．