Question

【题目】已知函数f（x）=x﹣ +alnx（a∈R）．
（1）若函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）已知g（x）= x2+（m﹣1）x+ ，m≤﹣ ，h（x）=f（x）+g（x），当时a=1，h（x）有两个极值点x1 ， x2 ， 且x1＜x2 ， 求h（x1）﹣h（x2）的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=x﹣ +alnx，

∴f′（x）=1+ + ，

∵f（x）在[1，+∞）上单调递增，

∴f′（x）=1+ + ≥0在[1，+∞）上恒成立，

∴a≥﹣（x+ ）在[1，+∞）上恒成立，

∵y=﹣x﹣ 在[1，+∞）上单调递减，

∴y≤﹣2，

∴a≥﹣2

（2）解：h（x）=f（x）+g（x）=lnx+ x2+mx，其定义域为（0，+∞），

求导得，h′（x）= ，

若h′（x）=0两根分别为x1，x2，则有x1x2=1，x1+x2=﹣m，

∴x2= ，从而有m=﹣x1﹣ ，

∵m≤﹣ ，x1＜x2，

∴x1∈[ ，1]

则h（x1）﹣h（x2）=h（x1）﹣h（ ）=2lnx1+ （ ﹣ ）+（﹣x1﹣ ）（x1﹣ ），

令φ（x）=2lnx﹣ （x2﹣ ），x∈[ ，1]．

则[h（x1）﹣h（x2）]min=φ（x）min，

φ′（x）=﹣ ，

当x∈（ ，1]时，φ′（x）＜0，

∴φ（x）在[ ，1]上单调递减，

φ（x）min=φ（1）=0，

∴h（x1）﹣h（x2）的最小值为0

【解析】（1）利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．（2）求出函数h（x）的表达式，求出函数h（x）的导数，利用函数极值，最值和导数之间的关系进行求解．
【考点精析】掌握函数的极值与导数是解答本题的根本，需要知道求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．