Question

（2010•抚州模拟）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=1．已知G，E分别为A₁B₁，CC₁的中点，D，F分别为线段AC，AB上的动点（不包括端点）．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围是（　　）

• A．[

  5

  5

  ，1)
• B．[

  1

  5

  ，2)
• C．[1，

  2

  )
• D．[

  5

  5

  ，

  2

  )

Answer 1

分析：根据直三棱柱中三条棱两两垂直，可建立空间直角坐标系，设出F、D的坐标，求出向量

DG

， 

EF

，利用GD⊥EF求得关系式，写出DF的表达式，然后利用二次函数求最值即可．

解答：解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），E（0，1，

1

2

），
G（

1

2

，0，1），F（x，0，0），D（0，y，0）
∴

GD

=(-

1

2

，y，-1)，

EF

=(x，-1，-

1

2

)
∵GD⊥EF，
∴x+2y-1=0，
∴x=1-2y
DF=

x2+y2

=

(1-2y)2+y2

=

5y2-4y+1

=

5(y- 2 5 )2+ 1 5

∵0＜y＜1
∴当y=

2

5

时，线段DF长度的最小值是

1

5

又y=1时，线段DF长度的最大值是 1
而不包括端点，故y=1不能取；
故线段DF的长度的取值范围是：[

5

5

，1)．
故选A．

点评：本题的考点是点、线、面间的距离计算，主要考查棱柱的结构特征、空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．