Question

10．求函数y=$\frac{{x}^{2}-2x+2}{x}$，x∈（0，$\frac{1}{4}$]的值域．

Answer 1

分析 可将原函数变成y=$x+\frac{2}{x}-2$，然后求导数，$y′=\frac{{x}^{2}-2}{{x}^{2}}$，从而可判断出y′（x）＜0，从而得出该函数在（0，$\frac{1}{4}$]上单调递减，可设y=f（x），从而得出f（x）$≥f（\frac{1}{4}）$，这样便得出了原函数的值域．

解答 解：$y=x+\frac{2}{x}-2$，y′=$1-\frac{2}{{x}^{2}}=\frac{{x}^{2}-2}{{x}^{2}}$；
∵$x∈（0，\frac{1}{4}]$；
∴x²-2＜0；
∴y′＜0；
∴原函数在（0，$\frac{1}{4}$]上单调递减，设y=f（x），则：
f（x）≥f（$\frac{1}{4}$）；
即f（x）$≥\frac{25}{4}$；
∴原函数的值域为[$\frac{25}{4}$，+∞）．

点评 考查函数值域的概念，根据导数符号判断函数单调性的方法，根据单调性定义求函数的值域，要正确求导．