Question

如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC=90 °，O为BC的中点．

(1) 证明：SO⊥平面ABC ；  
(2) 求二面角A-SC-B的余弦值

Answer 1

(1)证明：由题设知AB=AC=SB=SC=SA，连结OA，△ABC为等腰直角三角形，
所以OA=OB=OC=，且AO⊥BC，
又△SBC为等腰三角形，故SO⊥BC，且SO=，
从而OA²+SO²=SA²．
所以△SOA为直角三角形，SO⊥AO.
又AO∩BO=O.
所以SO⊥平面ABC.
(2)解：取SC的中点M，连结AM，OM，
由(1)知SO=OC,SA=AC．得OM⊥SC,AM⊥SC.
∴∠OMA为二面角A-SC-B的平面角．
由AO⊥BC，AO⊥SO，SO∩BC=O得AO⊥平面SBC.
所以AO⊥OM.
又AM=
故sin∠AMO=,cos∠AMO=
所以二面角A-SC-B的余弦值为.