Question

已知函数f（x）=lnx+ax（a∈R）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）设g（x）=x²-4x+2，若对任意x₁∈（0，+∞），均存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,分类讨论,导数的综合应用

分析：（1）先确定函数的定义域，再求导，讨论a的取值，得到函数的单调区间；
（2）先确定g（x）的取值范围，求出最大值，将问题转化为较简单的恒成立问题，再由单调性求a的取值范围．

解答： 解：（1）函数f（x）=lnx+ax（a∈R）的定义域为（0，+∞）；
f′（x）=

1+ax

x

，
①当a≥0时，f′（x）=

1+ax

x

＞0，
则函数f（x）=lnx+ax（a∈R）在（0，+∞）上单调递增；
②当a＜0时，x∈（0，-

1

a

）时，f′（x）=

1+ax

x

＞0，
则函数f（x）=lnx+ax（a∈R）在（0，-

1

a

）上单调递增；
x∈（-

1

a

，+∞）时，f′（x）=

1+ax

x

＜0，
则函数f（x）=lnx+ax（a∈R）在（-

1

a

，+∞）上单调递减．
综上所述，
当a≥0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；
当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，-

1

a

）；单调递减区间为（-

1

a

，+∞）．
（2）∵g（x）=x²-4x+2=（x-2）²-2在[0，1]上单调递减，
则-1≤g（x₂）≤2，
则问题转化为，
对任意x₁∈（0，+∞），都有f（x₁）＜2成立．
①当a≥0时，上式显然不成立；
②当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，-

1

a

）；单调递减区间为（-

1

a

，+∞）．
则f（-

1

a

）=ln（-

1

a

）+a•（-

1

a

）＜2；
解得a＜-e^-3．

点评：本题考查了函数的单调性的求法，最值的求法及恒成立问题的处理方法，属于难题．