Question

已知△ABC的三边长为a，b，c，则下列命题中真命题是（　　）

• A、“a²+b²＞c²”是“△ABC为锐角三角形”的充要条件
• B、“a²+b²＜c²”是“△ABC为钝角三角形”的必要不充分条件
• C、“a+b=2c”是“△ABC为等边三角形”的既不充分也不必要条件
• D、“a³+b³=c³”是“△ABC为钝角三角形”的充分不必要条件

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：简易逻辑

分析：对于A，利用余弦定理结合a²+b²＞c²求得cosC＞0，不见得得到△ABC为锐角三角形，反之由△ABC为锐角三角形能得到a²+b²＞c²；
对于B，利用余弦定理结合a²+b²＜c²求得cosC＜0，反之由△ABC为钝角三角形不一定得到a²+b²＞c²；
对于C，举特例说明不充分，直接由△ABC为等边三角形推得a+b=2c；
对于D，把给出的等式变形，结合指数函数的单调性得到a²+b²＞c²，反之，由△ABC为锐角三角形不能得到
a³+b³=c³．

解答： 解：a²+b²＞c²成立时，由余弦定理可得cosC＞0，即C为锐角，但此时△ABC形状不能确定，若△ABC为锐角三角形，C一定为锐角，此时a²+b²＞c²成立，故a²+b²＞c²是△ABC为锐角三角形的必要不充分条件，故A错误；
当a²+b²＜c²成立时，由余弦定理可得cosC＜0，即C为钝角，此时△ABC为钝角三角形，若△ABC为钝角三角形时，C可能为锐角，则“a²+b²＜c²”是“△ABC为钝角三角形”的充分不必要条件，故B错误；
取a=5，b=3，c=4，满足a+b=2c，三角形为直角三角形．若△ABC为等边三角形，则a=b=c，满足a+b=2c．
∴“a+b=2c”是“△ABC为等边三角形”的必要不充分条件，命题C错误；
由a³+b³=c³，得(

a

c

)3+(

b

c

)3=1，
∴0＜

a

c

＜1，0＜

b

c

＜1，
则(

a

c

)2+(

b

c

)2＞(

a

c

)3+(

b

c

)3=1，即a²+b²＞c²．
∴△ABC为锐角三角形．反之不一定是C为锐角，则“a³+b³=c³”是“△ABC为锐角三角形”的充分不必要条件．故D正确．
故选：D．

点评：本题考查了充分条件、必要条件、充要条件的判断方法，对选项D的灵活变形是解答该题的关键，是中档题．