Question

已知函数f（x）=

x

+

4-x

，则函数f（x）的值域为

 

．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：令

4-x

=t，t≥0，x=

4-t2

，并设y=f（x），所以根据原函数得：y=

4-t2

+t，将该函数变成2t²-2yt+y²-4=0，所以将该式看成关于t的方程，方程有解，所以判别式△=4y²-8（y²-4）≥0，解不等式即得原函数的值域．

解答： 解：令

4-x

=t，（t≥0），x=4-t²，并设y=f（x）；
∴y=

4-t2

+t，将该函数变成：2t²-2yt+y²-4=0，∴可以把这个式子看成关于t的方程，方程有解；
∴△=4y²-8（y²-4）≥0，解得-2

2

≤y≤2

2

；
∴函数f（x）的值域为[-2

2

，2

2

]．
故答案为：[-2

2

，2

2

]．

点评：考查函数的值域，以及含根号的函数值域的求法，一元二次方程的根和判别式△的关系．