Question

8．已知F为双曲线$C：\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1$的一个焦点，则点F到双曲线C的一条渐近线的距离为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据题意，由双曲线的标准方程可得a、b的值，由双曲线的几何性质可得焦点坐标以及渐近线的方程，进而由点到直线的距离公式计算可得答案．

解答 解：根据题意，双曲线的方程为：$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1$，
其中a=$\sqrt{4}$=2，b=$\sqrt{2}$，
则有c=$\sqrt{4+2}$=$\sqrt{6}$，故焦点坐标为（±$\sqrt{6}$，0），
其渐近线方程为：y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
设F（$\sqrt{6}$，0），到渐近线y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x的距离d=$\frac{|\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{6}|}{\sqrt{1+\frac{1}{2}}}$=$\sqrt{2}$，
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查双曲线的几何性质，关键是利用双曲线的标准方程，计算出焦点坐标以及渐近线的方程．