Question

18．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C₁：ρ=cosθ-sinθ，曲线${C_2}：\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数）．
（1）求曲线C₁的直角坐标方程；
（2）若曲线C₁与曲线C₂相交于P、Q两点，求|PQ|的值．

Answer 1

分析 （1）曲线C₁化为ρ²=ρcosθ-ρsinθ，由此能求出曲线C₁的直角坐标方程．
（2）曲线C₁，C₂联立，得${t}^{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}t-\frac{1}{4}$=0，设t₁，t₂为方程${t^2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t-\frac{1}{4}=0$的两根，由此能求出|PQ|的值．

解答 解：（1）∵曲线C₁：ρ=cosθ-sinθ，
∴ρ²=ρcosθ-ρsinθ⇒x²+y²=x-y，
∴曲线C₁的直角坐标方程为：x²+y²-x+y=0…（5分）
（2）∵曲线${C_2}：\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数），
∴联立$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}-x+{y^2}+y=0}\\{x=\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$，得${t}^{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}t-\frac{1}{4}$=0，
设t₁，t₂为方程${t^2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t-\frac{1}{4}=0$的两根，则$\left\{{\begin{array}{l}{{t_1}+{t_2}=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}\\{{t_1}{t_2}=-\frac{1}{4}}\end{array}}\right.$，
∴$|PQ|=|{t_1}-{t_2}|=\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．…（10分）

点评 本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标方程与直角坐标方程的互化公式的合理运用．