Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=AD，E，F分别是线段PA，PD的中点，H在线段AB上．

（1）求证：PC⊥AF；

（2）若平面PBC∥平面EFH，求证H是AB的中点；

（3）若AD=4，AB=2，求点D到平面PAC的距离．

Answer 1

【答案】（1）见证明；（2）见证明；（3）

【解析】

（1）要证PC⊥AF ，只需证明AF⊥平面PCD即可，须证AF垂直面内两条相交直线；（2）由面PBC∥平面EFH，可得EH∥PB，由是线段的中点即可得到证明；（3）过D作DM⊥AC于M，可证面即线段DM的长就是点D到平面PAC的距离．

(1)证明：底面， 底面，.

又四边形为正方形，.

又，平面.

又平面 ， ，

为的中点，且，，

又， 平面..

(2)证明：平面平面 ，面平面，面平面，

.

又是线段的中点，在线段上，

是的中点.

(3)过作于，

侧棱底面，，且 ，

面，

线段的长就是点到平面的距离.

在直角三角形中，.

.