Question

【题目】如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在面对角线AC上运动，给出下列四个命题：

①D1P∥平面A1BC1；

②D1P⊥BD；

③平面PDB1⊥平面A1BC1；

④三棱锥A1﹣BPC1的体积不变．

则其中所有正确的命题的序号是_____．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

利用线面平行的判定定理与性质定理，面面垂直的判定定理与三棱锥的体积公式对四个选项逐一分析判断即可．

①∵在正方体中，D1A∥BC1，D1C∥BA1，且D1A∩DC1=D1，∴平面D1AC∥平面A1BC1；∵P在面对角线AC上运动，∴D1P∥平面A1BC1；∴①正确．

②当P位于AC的中点时，D1P⊥BD不成立，∴②错误；

③∵A1C1⊥平面BDD1B1；∴A1C1⊥B1D，同理A1B⊥B1D，∴B1D⊥平面A1BC1，∴平面BDD1B⊥面ACD1，∴平面PDB1⊥平面A1BC1；∴③正确．

④三棱锥A1-BPC1的体积等于B-A1PC1的体积，△A1PC1的面积为定值A1C1AA1，B到平面A1PC1的高为BP为定值，∴三棱锥A1-BPC1的体积不变，∴④正确．

故答案为：①③④．