Question

【题目】已知椭圆的左右顶点是双曲线的顶点，且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与相交于两点，与相交于两点，且，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

由双曲线的顶点可得，求出双曲线的渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得，即可得到椭圆方程

设直线的方程为，联立双曲线方程，消去，运用韦达定理和判别式大于，结合向量的数量积的坐标表示，求得的关系式，再由直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到所求

（1）由题意可知：，

又椭圆的上顶点为，

双曲线的渐近线为：，

由点到直线的距离公式有：，

所以椭圆的方程为。

（2）易知直线的斜率存在，设直线的方程为，代入，消去并整理得：

，

要与相交于两点，则应有：

设，

则有：，.

又 .

又：，所以有： ，

，②

将，代入，消去并整理得：，

要有两交点，则 .③

由①②③有：

设、.

有：，

.

将代入有：

.

,令,

令 ,.

所以在内恒成立，故函数在内单调递增，

故 .