Question

5．（1）若$tanα=\frac{1}{2}$，求sin²α+sinαcosα的值
（2）化简$\frac{1+sinx}{cosx}•\frac{sin2x}{{2{{cos}^2}（\frac{π}{4}-\frac{x}{2}）}}$．

Answer 1

分析 （1）方法一：采用切化弦思想．方法二：弦化切的思想．
（2）利用诱导公式和二倍角公式进行化解即可．

解答 解：（1）解法一：采用切化弦思想；
∵$\frac{sinα}{cosα}$=tanα=$\frac{1}{2}$，
∴2sinα=cosα，
又∵sin²α+cos²α=1，
解得：sin²α=$\frac{1}{5}$
则：sin²α+sinαcosα=sin²α+sinα•2sinα=3sin²α=$\frac{3}{5}$．
解法二：采用弦化切的思想：
∵tanα=$\frac{1}{2}$，
则：sin²α+sinαcosα=$\frac{si{n}^{2}α+sinαcosα}{1}=\frac{si{n}^{2}α+sinαcosα}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$
=$\frac{ta{n}^{2}α+tanα}{ta{n}^{2}α+1}$=$\frac{（\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{2}}{（\frac{1}{2}）^{2}+1}$=$\frac{3}{5}$．
（2）$\frac{1+sinx}{cosx}•\frac{sin2x}{{2{{cos}^2}（\frac{π}{4}-\frac{x}{2}）}}$；
原式=$\frac{1+sinx}{cosx}•\frac{2sinxcosx}{cos2（\frac{π}{4}-\frac{x}{2}）+1}$=$\frac{1+sinx}{cosx}•\frac{2sinxcosx}{sinx+1}=2sinx$．

点评 本题考查了采用切化弦和弦化切的思想以及诱导公式和二倍角公式进行化解计算的能力．属于基础题．