Question

15．三角形ABC中，BC=4，且$AB=\sqrt{3}AC$，则三角形ABC面积最大值为$4\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 设AC=x，则AB=$\sqrt{3}$x，根据面积公式得S_△ABC=2xsinC，由余弦定理求得 cosC代入化简 S_△ABC=$\frac{1}{2}$$\sqrt{192-（{x}^{2}-16）^{2}}$，由三角形三边关系求得 2$\sqrt{3}$-2＜x＜2$\sqrt{3}$+2，由二次函数的性质求得S_△ABC取得最大值．

解答 解：设AC=x，则AB=$\sqrt{3}$x，根据面积公式得S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC•sinC=$\frac{1}{2}$•x•4•sinC=2xsinC，
由余弦定理可得 cosC=$\frac{8-{x}^{2}}{4x}$，
∴S_△ABC=2x $\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=2x$\sqrt{1-（\frac{8-{x}^{2}}{4x}）^{2}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{192-（{x}^{2}-16）^{2}}$．
由三角形三边关系有：x+$\sqrt{3}$x＞4且x+4＞$\sqrt{3}$x，解得 2$\sqrt{3}$-2＜x＜2$\sqrt{3}$+2，
故当 x=4时，S_△ABC取得最大值4$\sqrt{3}$，
故答案为：4$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了余弦定理和面积公式在解三角形中的应用．当涉及最值问题时，可考虑用函数的单调性和定义域等问题，计算量较大，考查了转化思想，属于中档题．