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    已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=
    an(an+2)
    4
    （n∈N*）．
    （1）求a1的值及数列{an}的通项公式；
    （2）求证：
    1
    a
    3
    1
    +
    1
    a
    3
    2
    +
    1
    a
    3
    3
    +…+
    1
    a
    3
    n
    ＜
    5
    32
    （n∈N*）；
    （3）是否存在非零整数λ，使不等式λ（1-
    1
    a1
    ）（1-
    1
    a2
    ）…（1-
    1
    an
    ）cos
    πan+1
    2
    ＜
    1
    		an+1
    对一切n∈N*都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
    分析：（1）利用当n=1时，a1=S1=
    a1(a1+2)
    4
    ，求a1的值，根据当n≥2时，an=Sn-Sn-1，可求数列{an}的通项公式；
    （2）证法一、二：先放缩，再裂项求和，即可证得结论；
    （3）求出数列{bn}的通项，证明其单调递增，假设存在这样的实数λ，使得不等式（-1）n+1λ＜bn对一切n∈N*都成立，分类讨论求最值，即可求出λ的值．
    解答：（1）解：由Sn=
    an(an+2)
    4
    ．
    当n=1时，a1=S1=
    a1(a1+2)
    4
    ，解得a1=2或a1=0（舍去）． …2分
    当n≥2时，由an=Sn-Sn-1=
    an(an+2)
    4
    -
    an-1(an-1+2)
    4

    ∴an2-an-12=2(an+an-1)，
    ∵an＞0，∴an+an-1≠0，则an-an-1=2，
    ∴{an}是首项为2，公差为2的等差数列，故an=2n． …4分
    （2）证法一：∵
    1
    an3
    =
    1
    (2n)3
    =
    1
    8n•n2
    ＜
    1
    8n(n2-1)
    =
    1
    8(n-1)n(n+1)
    =
    1
    16
    [
    1
    (n-1)n
    -
    1
    n(n+1)
    ](n≥2)    ，…4分
    ∴当n≥2时，
    1
    a13
    +
    1
    a23
    +
    1
    a33
    +…+
    1
    an3
    =
    1
    23
    +
    1
    43
    +
    1
    63
    +…+
    1
    (2n)3
    ＜
    1
    23
    +
    1
    16
    [(
    1
    1×2
    -
    1
    2×3
    )+(
    1
    2×3
    -
    1
    3×4
    )+…+
    1
    (n-1)n
    -
    1
    n(n+1)
    ]    =
    1
    8
    +
    1
    16
    [
    1
    2
    -
    1
    n(n+1)
    ]＜
    1
    8
    +
    1
    16
    ×
    1
    2
    =
    5
    32
    ．…7分
    当n=1时，不等式左边=
    1
    a13
    =
    1
    8
    ＜
    5
    32
    显然成立．…8分
    证法二：∵n3-4n（n-1）=n（n2-4n+4）=n（n-2）2≥0，∴n3≥4n（n-1）．
    ∴
    1
    an3
    =
    1
    (2n)3
    =
    1
    8n3
    ≤
    1
    32n(n-1)
    =
    1
    32
    (
    1
    n-1
    -
    1
    n
    )    （n≥2）．…4分
    ∴当n≥2时，
    1
    a13
    +
    1
    a23
    +
    1
    a33
    +…+
    1
    an3
    =
    1
    23
    +
    1
    43
    +
    1
    63
    +…+
    1
    (2n)3
    ≤
    1
    23
    +
    1
    32
    [(1-
    1
    2
    )+(
    1
    2
    -
    1
    3
    )+…+(
    1
    n-1
    -
    1
    n
    )]=
    1
    8
    +
    1
    32
    (1-
    1
    n
    )＜
    1
    8
    +
    1
    32
    =
    5
    32
    ．…7分
    当n=1时，不等式左边=
    1
    a13
    =
    1
    8
    ＜
    5
    32
    显然成立．…8分
    （3）解：由an=2n，得cos
    πan+1
    2
    =cos(n+1)π=(-1)n+1    ，
    设bn=
    1
    (1-
    1
    a1
    )(1-
    1
    a2
    )•…•(1-
    1
    an
    )
    		an+1
    ，则不等式等价于.
    bn+1
    bn
    =
    		an+1
    (1-
    1
    an+1
    )
    		an+1+1
    =
    		2n+1
    (1-
    1
    2n+2
    )
    		2n+3
    =
    2n+2
    		(2n+1)(2n+3)
    =
    		4n2+8n+4
    		4n2+8n+3
    ＞1    ，…9分
    ∵bn＞0，∴bn+1＞bn，数列{bn}单调递增．…10分
    假设存在这样的实数λ，使得不等式（-1）n+1λ＜bn对一切n∈N*都成立，则
    ①当n为奇数时，得λ＜(bn)min=b1=
    2
    		3
    3
    ； …11分
    ②当n为偶数时，得-λ＜(bn)min=b2=
    8
    		5
    15
    ，即λ＞-
    8
    		5
    15
    ．…12分
    综上，λ∈(-
    8
    		5
    18
    ，
    2
    		3
    3
    )    ，由λ是非零整数，知存在λ=±1满足条件．…14分
    点评：本题考查数列的通项与求和，考查数列与不等式的联系，考查恒成立问题，确定数列的通项，正确放缩，合理运用求和公式是关键．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知正项数列{an}满足：a1=3，（2n-1）an+2=（2n+1）an-1+8n2（n＞1，n∈N*）
    （1）求证：数列{
    an
    2n+1
    }    为等差数列，并求数列{an}的通项an．
    （2）设bn=
    1
    an
    ，求数列{bn}的前n项和为Sn，并求Sn的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    定义：称
    n
    a1+a2+…+an
    为n个正数a1，a2，…，an的“均倒数”，已知正项数列{an}的前n项的“均倒数”为
    1
    2n
    ，则
    lim
    n→∞
    nan
    sn
    （　　）
    A、0
    B、1
    C、2
    D、
    1
    2

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知正项数列an中，a1=2，点(
    		an
    ，an+1)    在函数y=x2+1的图象上，数列bn中，点（bn，Tn）在直线y=-
    1
    2
    x+3    上，其中Tn是数列bn的前项和．（n∈N+）．
    （1）求数列an的通项公式；
    （2）求数列bn的前n项和Tn．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知正项数列{an}满足a1=1，an+1=an2+2an（n∈N+），令bn=log2（an+1）．
    （1）求证：数列{bn}为等比数列；
    （2）记Tn为数列{
    1
    log2bn+1•log2bn+2
    }    的前n项和，是否存在实数a，使得不等式Tn＜log0.5(a2-
    1
    2
    a)    对?n∈N+恒成立？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知正项数列{an}，Sn=
    1
    8
    (an+2)2
    （1）求证：{an}是等差数列；
    （2）若bn=
    1
    2
    an-30    ，求数列{bn}的前n项和．

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