Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=4，S_n=na_n+2-

n(n-1)

2

（n≥2，n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足：b₁=4，且b_n+1=b_n²-（n-1）b_n-2（n∈N^*），求证：b_n＞a_n（n≥2，n∈N^*）；
（3）求证：(1+

1

b2b3

)(1+

1

b3b4

)…(1+

1

bnbn-1

)＜

3	e

(n≥2，n∈N*)．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得a_n-a_n-1=1，（n≥3，n∈N^*），a₂=3，从而求出a_n=

4，n=1 n+1，n≥2

．
（2）利用数学归纳法进行证明．
（3）设f（x）=ln（1+x）-x，则f′(x)=

1

1+x

-1=

-x

1+x

＜0，从而ln（1+x）＜x，ln（1+

1

bnbn+1

）＜

1

bnbn+1

＜

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，由此能证明(1+

1

b2b3

)(1+

1

b3b4

)…(1+

1

bnbn-1

)＜

3	e

(n≥2，n∈N*)．

解答： （1）解：当n≥3时，Sn=nan+2-

n(n-1)

2

，①
Sn-1=(n-1)an-1+2-

(n-1)(n-2)

2

，②
①-②，得an=nan-(n-1)an-1-

n-1

2

×2，
∴a_n-a_n-1=1，（n≥3，n∈N^*），
∵a₁+a₂=2a₂+2-1，
∴a₂=3，
∴a_n=

4，n=1 n+1，n≥2

．
（2）证明：①当n=2时，b2=b12-2=14＞3=a2，不等式成立；
②假设当n=k（k≥2，k∈N^*）时，不等式成立，即b_k＞k+1，
则当n=k+1时，
bk+1=bk2-(k-1)bk-2
=b_k（b_k-k+1）-2
＞2b_k-2＞2（k+1）-2=2k≥k+2，
∴当n=k+1时，不等式也成立，
由①②，得b_n＞a_n（n≥2，n∈N^*）．
（3）证明：设f（x）=ln（1+x）-x，f′(x)=

1

1+x

-1=

-x

1+x

＜0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递减，f（x）＜f（0），
∴ln（1+x）＜x，
∵当n≥2，n∈N^*时，

1

bn

＜

1

an

=

1

n+1

，
∴ln（1+

1

bnbn+1

）＜

1

bnbn+1

＜

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
∴ln（1+

1

b2b3

）+ln（1+

1

b3b4

）+…+ln（1+

1

bnbn+1

）
＜

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

3

-

1

n+2

＜

1

3

，
∴(1+

1

b2b3

)(1+

1

b3b4

)…(1+

1

bnbn-1

)＜

3	e

(n≥2，n∈N*)．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要注意数学归纳法、裂项求和法的合理运用．