Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n=3a_n-1+2（n≥2）．
（1）证明：数列{a_n+1}是等比数列．
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n
（3）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得a_n+1=3（a_n-1+1），a₁+1=2，由此能证明数列{a_n+1}是首项为1，公比为3的等比数列．
（2）由已知得a_n+1=2×3^n-1，从而求出a_n=2×3^n-1-1．
（3）S_n=2（3⁰+3+3²+…+3^n-1）-n，由此利用分布求法和能求出结果．

解答： （1）证明：∵数列{a_n}中，a₁=1，a_n=3a_n-1+2（n≥2），
∴a_n+1=3（a_n-1+1），
又a₁+1=2，
∴数列{a_n+1}是首项为1，公比为3的等比数列．
（2）解：∵数列{a_n+1}是首项为1，公比为3的等比数列，
∴a_n+1=2×3^n-1，
∴a_n=2×3^n-1-1．
（3）解：S_n=2（3⁰+3+3²+…+3^n-1）-n
=2×

1-3n

1-3

-n
=3ⁿ-1-n．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要注意分组求和法的合理运用．