Question

已知抛物线y²=4x的焦点为F，过F的直线交抛物线于M、N，其准线l与x轴交于K点．
（1）写出抛物线的交点坐标及准线方程；
（2）求证：KF平分∠MKN；
（3）O为坐标原点，直线MO、NO分别交准线于点P、Q，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线y²=4x，可得抛物线焦点坐标为（1，0），准线方程为x=-1．
（2）证明：作MM₁⊥准线 于M₁，NN₁⊥准线 于N₁，则

|MF|

|NF|

=

|M1K|

|N1K|

，根据抛物线的定义有

|MF|

|NF|

=

|M1M|

|N1N|

，从而可得KMM₁=∠KNN₁，进而可知KF平分∠MKN
（3）设M、N的坐标分别为(

y 2 1

4

，y1)，(

y 2 2

4

，y2)，根据M，O，P三点共线，确定P点的坐标，根据N，O，Q三点共线可求出Q点坐标，设直线MN的方程为x=my+1，代入抛物线y²=4x，化简可得y²-4my-4=0，从而可得PQ|=|

4

y1

-

4

y2

|=

4|y1-y2|

y1y2

=4

m2+1

，由此可求PQ|的最小值．

解答：（1）解：∵抛物线y²=4x
∴抛物线焦点坐标为（1，0），准线方程为x=-1．
（2）证明：作MM₁⊥准线 于M₁，NN₁⊥准线 于N₁，则

|MF|

|NF|

=

|M1K|

|N1K|

，
又由抛物线的定义有

|MF|

|NF|

=

|M1M|

|N1N|

∴

|M1M|

|N1N|

=

|M1K|

|N1K|

∴

|N1K|

|N1N|

=

|M1K|

|M1M|

∴∠KMM₁=∠KNN₁，即∠MKF=∠NKF，
∴KF平分∠MKN
（3）解：设M、N的坐标分别为(

y 2 1

4

，y1)，(

y 2 2

4

，y2)，
M，O，P三点共线可求出P点的坐标为(-1，-

4

y1

)，
由N，O，Q三点共线可求出Q点坐标为(-1，-

4

y2

)，
设直线MN的方程为x=my+1，代入抛物线y²=4x，化简可得y²-4my-4=0
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4
∴|PQ|=|

4

y1

-

4

y2

|=

4|y1-y2|

y1y2

=4

m2+1

又直线MN的倾斜角为θ，则m=cotθ（0＜θ＜π），
∴|PQ|=4

cot2θ+1

=

4

sinθ

∴θ=

π

2

时，|PQ|取得最小，最小值为4．

点评：本题以抛物线为载体，考查抛物线的性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，正确表示|PQ|是关键．