Question

已知函数y=cos（x+

π

3

）-sin（x+

π

3

）．
（1）求函数的最大值，最小值以及对应的x值；
（2）求函数的单调递增区间．

Answer 1

考点：三角函数的最值,复合三角函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：把已知的三角函数式化简为y=-

2

sin(x+

π

12

)．
（1）结合正弦函数的最值求得函数y=cos（x+

π

3

）-sin（x+

π

3

）的最值，并求得x的值；
（2）直接利用复合函数的单调性求得函数y=cos（x+

π

3

）-sin（x+

π

3

）的单调增区间．

解答： 解：y=cos（x+

π

3

）-sin（x+

π

3

）
=-[sin（x+

π

3

）-cos（x+

π

3

）]
=-

2

sin(x+

π

3

-

π

4

)
=-

2

sin(x+

π

12

)．
（1）当x+

π

12

=2kπ-

π

2

，即x=2kπ-

7π

12

，k∈Z时，函数有最大值

2

；
当x+

π

12

=2kπ+

π

2

，即x=2kπ+

5π

12

，k∈Z时，函数有最小值-

2

．
（2）由

π

2

+2kπ≤x+

π

12

≤2kπ+

3π

2

，得

5π

12

+2kπ≤x≤2kπ+

17π

12

，k∈Z．
∴函数的单调递增区间为[

5π

12

+2kπ，

17π

12

+2kπ]，k∈Z．

点评：本题考查了三角函数的最值，考查了复合三角函数的单调性，是中档题．