Question

已知椭圆：

x2

2

+y²=1，椭圆上有P，Q，O为原点，直线OP，OQ斜率满足k_OP•k_OQ=-

1

2

，求PQ中点M的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：分别设出P，Q，M的坐标，把P，Q的坐标代入椭圆方程，两式作和得一关系式，再由k_OP•k_OQ=-

1

2

得到x₁x₂+2y₁y₂=0，写出中点坐标公式，然后利用配方法整理出现(x1+x2)2+2(y1+y2)2-2(x1x2+2y1y2)=4，代入中点坐标及x₁x₂+2y₁y₂=0得答案．

解答： 解：设p（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x，y），
则

x12

2

+y12=1  ①，

x22

2

+y22=1  ②，
2x=x₁+x₂，2y=y₁+y₂  ③，
由k_OP•k_OQ=-

1

2

，得

y1

x1

y2

x2

=-

1

2

，即x₁x₂+2y₁y₂=0  ④，
联立①②得：(x12+x22)+2(y12+y22)=4，
(x1+x2)2-2x1x2+2(y1+y2)2-4y1y2=4，
即(x1+x2)2+2(y1+y2)2-2(x1x2+2y1y2)=4  ⑤，
把③④代入⑤得：（2x）²+2（2y）²-2×0=4，
即4x²+8y²=4，
x²+2y²=1．

点评：本题考查了轨迹方程的求法，着重体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．