Question

等差数列{a_n}中，公差d≠0，a₁=1，a₁、a₂、a₅成等比数列，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{

1

anan+1

}的前n项和为T_n，求满足T_n＞

100

207

的最小正整数n．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：计算题,等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）运用等差数列的通项公式和等比数列的性质，解出d=2，即可得到所求通项；
（2）运用裂项相消求和，即数列

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），再求和，解不等式即可确定最小的最小正整数n．

解答： 解：（1）a₁、a₂、a₅成等比数列，则a₂²=a₁a₅，
（a₁+d）²=a₁（a₁+4d），即有d²=2d（d≠0），
则d=2．
则a_n=a₁+（n-1）d=2n-1；
（2）数列

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
T_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]
=

1

2

（1-

1

2n+1

）．

1

2

（1-

1

2n+1

）＞

100

207

即为2n+1＞

207

7

，即n＞

100

7

，
则满足T_n＞

100

207

的最小正整数n为15．

点评：本题考查等差数列的通项公式和等比数列的性质，考查数列求和的方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．