Question

△ABC中，内角A、B．C所对边分别为a、b、c，己知A=

π

6

，c=

3

，b=1．
（1）求a的长及B的大小；
（2）若0＜x＜B，求函数f（x）=2sinxcosx+2

3

cos²x-

3

的值域．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）利用余弦定理列出关系式，把b，c，cosA的值代入求出a的值，利用等边对等角确定出B的度数即可；
（2）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域确定出f（x）的值域即可．

解答： 解：（1）∵△ABC中，A=

π

6

，c=

3

，b=1，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=1+3-3=1，即a=1，
则A=B=

π

6

；
（2）f（x）=sin2x+

3

cos2x=2sin（2x+

π

3

），
由0＜x＜

π

6

，得到

π

3

＜2x+

π

3

＜

2π

3

，即

3

2

＜sin（2x+

π

3

）≤1，
则函数的值域为（

3

，2]．

点评：此题考查了余弦定理，正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．