Question

设各项均不为零的数列{a_n}的前n项和为S_n，且2S_n=a_n•a_n+1（n∈N^*）
（1）求证：数列a₂，a₄，a₆，…，a_2n，…是等差数列，并写出a_2n关于n的表达式；
（2）确定a₁的值，使数列{a_n}为等差数列；
（3）在（2）的条件下，求数列|a_nsin（a_nπ-

π

2

）|的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）当n=1时，2a₁=a₁•a₂，由于a₁≠0，可得a₂=2．利用2S_n=a_n•a_n+1（n∈N^*），可得
2S_n+1=a_n+1•a_n+2，两式相减利用a_n+1≠0，可得a_n+2-a_n=2．再利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）由（1）可知：a_2n=2n．因此要使数列{a_n}为等差数列，则满足a₂-a₁=

2

2

=1，解出即可．
（3）由（2）可得：a_n=n．可得a_nsin（a_nπ-

π

2

）=nsin(nπ-

π

2

)=-ncosnπ，|-ncosnπ|=n，即可得出
数列{|a_nsin（a_nπ-

π

2

）|}的前n项和T_n．

解答： （1）证明：当n=1时，2a₁=a₁•a₂，
∵a₁≠0，∴a₂=2．
∵2S_n=a_n•a_n+1（n∈N^*），可得2S_n+1=a_n+1•a_n+2，
两式相减可得：2a_n+1=a_n+1（a_n+2-a_n），
∵a_n+1≠0，∴a_n+2-a_n=2．
∴数列a₂，a₄，a₆，…，a_2n，…是等差数列，
a_2n=a₂+2（n-1）=2n．
（2）由（1）可知：a_2n=2n．
因此要使数列{a_n}为等差数列，则满足a₂-a₁=

2

2

=1，
∴a₁=1．
因此当a₁=1时，数列{a_n}为等差数列．
（3）由（2）可得：a_n=n．
∴a_nsin（a_nπ-

π

2

）=nsin(nπ-

π

2

)=-ncosnπ，
∴|-ncosnπ|=n，
∴数列{|a_nsin（a_nπ-

π

2

）|}的前n项和T_n=1+2+…+n=

n(1+n)

2

．

点评：本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n项和公式、三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．