Question

已知函数f（x）=log₂|cosx|．
（1）求其定义域和值域；
（2）判断奇偶性；
（3）判断周期性，若是，求出其最小正周期；
（4）写出单调递减区间．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）对于f（x）=log₂|cosx|，令t=|cosx|＞0，则y=log₂t，即可求解定义域，值域．（2）f（-x）=f（x）=）log₂|cosx|．
定义域关于原点对称，判断奇偶性．（3）根据f（x+π）=log₂|cos（x+π）|=log₂|cosx|=f（x），得出周期性．
（4）由复合函数的单调性分析可得，只需求出t=|cosx|的增区间即可，由绝对值的意义结合正弦函数的单调性，即可得答案．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=log₂|cosx|．
∴|cosx|＞0，x≠kπ+

π

2

，k∈Z，
对于f（x）=log₂|cosx|，
令t=|cosx|＞0，则y=log₂t，0＜t≤1，
∴y≤0，
∴定义域为{x|x≠kπ+

π

2

，k∈Z}，值域为（-∞，0]；
（2）f（-x）=f（x）=）log₂|cosx|．
定义域关于原点对称，
∴f（x）=log₂|cosx|．为偶函数，
（3）∵f（x+π）=log₂|cos（x+π）|=log₂|cosx|=f（x），
∴f（x）是周期函数，最小正周期π
（4）分析单调性可得，y=log₂t，0＜t≤1为增函数，
欲求f（x）=log₂|cosx|的单调递减区间，
只需求出t=|cosx|的减区间即可，
∵t=|cosx|的减区间为[kπ，kπ+

π

2

]（k∈Z）．
∴函数的单调递增区间是[kπ，kπ+

π

2

]（k∈Z）．
故答案为[kπ，kπ+

π

2

]（k∈Z）．

点评：本题考查复合函数的单调性的判断，注意其单调性的特殊判断方法，先拆分，再分析，分析方法为同增异减．