Question

3．已知函数f（x）=log_a$\frac{1-mx}{x-1}$（a＞0且a≠1）是奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）判断函数f（x）在区间（1，+∞）上的单调性并说明理由；
（3）当x∈（n，a-2）时，函数f（x）的值域为（1，+∞），求实数n，a的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意，由函数奇偶性的性质可得f（x）+f（-x）=0，即log_a$\frac{1-mx}{x-1}$+log_a$\frac{1+mx}{-x-1}$=0，结合对数的运算性质可得（$\frac{1-mx}{x-1}$）（$\frac{1+mx}{-x-1}$）=1，解可得m的值，验证即可得答案；
（2）由（1）可得函数的解析式，设x₁＞x₂＞1，结合对数的运算性质可得f（x₁）-f（x₂）=log_a（$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}-1+{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}-1+{x}_{1}{x}_{2}}$），分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论f（x₁）-f（x₂）的符号，综合可得答案；
（3）由（1）可得函数的解析式，进而求出函数f（x）的定义域，分n＜a-2＜-1和1＜n＜a-2两种情况讨论，求出a、n的值，即可得答案．

解答 解：（1）根据题意，函数f（x）=log_a$\frac{1-mx}{x-1}$（a＞0且a≠1）是奇函数，
则有f（x）+f（-x）=0，
即log_a$\frac{1-mx}{x-1}$+log_a$\frac{1+mx}{-x-1}$=0，
则有log_a（$\frac{1-mx}{x-1}$）（$\frac{1+mx}{-x-1}$）=0，
即（$\frac{1-mx}{x-1}$）（$\frac{1+mx}{-x-1}$）=1，
解可得：m=±1，
当m=1时，f（x）=log_a$\frac{1-x}{x-1}$，没有意义，
故m=-1，
（2）由（1）可得：m=-1，即f（x）=log_a$\frac{1+x}{x-1}$，
设x₁＞x₂＞1，
f（x₁）-f（x₂）=log_a$\frac{1+{x}_{1}}{{x}_{1}-1}$-log_a$\frac{1+{x}_{2}}{{x}_{2}-1}$=log_a$\frac{（1+{x}_{1}）（{x}_{2}-1）}{（{x}_{1}-1）（1+{x}_{2}）}$=log_a（$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}-1+{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}-1+{x}_{1}{x}_{2}}$），
又由x₁＞x₂＞1，
则0＜$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}-1+{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}-1+{x}_{1}{x}_{2}}$＜1，
当a＞1时，f（x₁）-f（x₂）＜0，则函数f（x）为减函数，
当0＜a＜1时，f（x₁）-f（x₂）＞0，则函数f（x）为增函数，
（3）由（1）可得：m=-1，即f（x）=log_a$\frac{1+x}{x-1}$，
其定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），
当n＜a-2＜-1时，有0＜a＜1，
此时函数f（x）为增函数，有$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}\frac{1+n}{1-n}=1}\\{a-2=-1}\end{array}\right.$，无解；
当1＜n＜a-2时，有a-2＞1，即a＞3，
此时函数f（x）为减函数，有$\left\{\begin{array}{l}{n=1}\\{lo{g}_{a}\frac{a-1}{a-3}=1}\end{array}\right.$，解可得a=2+$\sqrt{3}$；
故n=1，a=2+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查函数奇偶性、单调性的性质以及应用，关键是求出m的值．