Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的左、右焦点分别为F₁，F₂，P为椭圆C上一点，若△F₁F₂P为等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为（　　）

• A、

  2

  2

• B、

  2

  -1
• C、

  2

  -1或

  2

  2

• D、

  2

  4

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求椭圆的离心率，即求参数a，c的关系，本题中给出了三角形PF₁F₂为等腰三角形这一条件，由相关图形知，角P或F₁或角F₂为直角，不妨令角F₂为直角，
则有PF₂=F₁F₂，求出两线段的长度，代入此方程，整理即可得到所求的离心率．

解答：由题意，角P或F₁或角F₂为直角，
当P为直角时，b=c，
∴a²=b²+c²=2c²
∴离心率e=

c

a

=

2

2

；
当角F₁或角F₂为直角，
不妨令角F₂为直角，
此时P（c，y），代入椭圆方程

x2

a2

+

y2

b2

=1得y=±

b2

a

，
又三角形PF₁F₂为等腰三角形得PF₂=F₁F₂，
故得PF₂═2c，即a²-c²=2ac，
解得

c

a

=

2

-1，
即椭圆C的离心率为

2

-1．
故选C．

点评：本题考查椭圆的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．