Question

2．在△AOB中，O为原点，若已知A（2，cosθ）、B（sinθ，2），（θ∈（0，$\frac{π}{2}$]），求△AOB面积的最大值．

Answer 1

分析 在直角坐标系里，△OAB的面积S=4-$\frac{1}{2}$（sinθ×2）-$\frac{1}{2}$[cosθ×2]-$\frac{1}{2}$（2-sinθ）（2-cosθ），利用二倍角的正弦函数公式得到一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域及角度的范围即可得到三角形面积最大值．

解答 解：∵A（2，cosθ）、B（sinθ，2），（θ∈（0，$\frac{π}{2}$]），
∴△OAB的面积S=4-$\frac{1}{2}$（sinθ×2）-$\frac{1}{2}$[cosθ×2]-$\frac{1}{2}$（2-sinθ）（2-cosθ）=2-$\frac{1}{2}$sinθcosθ=2-$\frac{1}{4}sin2θ$，
∵2θ∈（0，π]，故当2θ=π，即θ=$\frac{π}{2}$，S取最大值2．

点评 本题考查的知识点是三角形面积公式，基本利用割补法，求出三角形面积的表达式，是解答的关键．