Question

12．如图为四棱锥P-ABCD的表面展开图，四边形ABCD为矩形，$AB=\sqrt{2}$，AD=1．已知顶点P在底面ABCD上的射影为点A，四棱锥的高为$\sqrt{2}$，则在四棱锥P-ABCD中，PC与平面ABCD所成角的正切值为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

Answer 1

分析 作出四棱锥的直观图，根据PA⊥平面ABCD即可得出∠PCA为所求角，利用勾股定理计算AC，即可得出线面角的正切值．

解答 解：作出四棱锥的直观图如图所示：
∵顶点P在底面ABCD上的射影为点A，∴PA⊥平面ABCD，
∴∠PCA为直线PC与平面ABCD所成的角，PA=$\sqrt{2}$．
∵四边形ABCD为矩形，$AB=\sqrt{2}$，AD=1，
∴AC=$\sqrt{3}$，
∴tan∠PCA=$\frac{PA}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查了线面角大小的计算，属于基础题．