Question

20．如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，
E为PC中点．
（Ⅰ）求证：平面BED⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若∠BED=90°，求三棱锥E-BDP的体积．

Answer 1

分析 （I）连接AC交BD于O点，连接EO，由中位线定理得出OE∥PA，由于PA⊥平面ABCD，故而OE⊥平面ABCD，于是平面BED⊥平面ABCD；
（II）在直角三角形BDE中，根据BD的长得出OE，从而求得PA，于是三棱锥E-BDP的体积对于四棱锥P-ABCD的体积减去三棱锥P-ABD和三棱锥E-BCD的体积．

解答 （Ⅰ）证明：连接AC交BD于O点，连接EO，
∵四边形ABCD是菱形，
∴O是AC的中点，又∵E为PC中点，
∴OE∥PA，
∵PA⊥平面ABCD，
∴OE⊥平面ABCD，
又∵OE?平面BED，
∴平面BDE⊥平面ABCD．
（Ⅱ）解：∵四边形ABCD是边长为2的菱形，
∴OB=OD=$\sqrt{3}$．
∵OE⊥平面ABCD，
∴OE⊥BD，
∵∠BED=90°，∴OE=$\frac{1}{2}BD$=OB=$\sqrt{3}$，
∴PA=2OE=2$\sqrt{3}$．
∴V_P-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{菱形ABCD}•PA$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×sin60°×2×2\sqrt{3}$=4．
V_P-ABD=$\frac{1}{3}{S}_{△ABD}•PA$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×sin120°×2\sqrt{3}$=2．
V_E-BCD=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•OE$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×sin120°×\sqrt{3}$=1．
∴V_E-BDP=V_P-ABCD-V_P-ABD-V_E-BCD=4-2-1=1．

点评 本题考查了面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．