Question

15．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，侧面SAB⊥底面ABCD，并且SA=SB=AB=2，F为SD的中点．
（1）证明：SB∥平面FAC；
（2）求三棱锥S-FAC的体积．

Answer 1

分析 （1）连接BD交AC于点E，连接EF，由中位线定理可得EF∥SB，故而SB∥平面FAC；
（2）取AB的中点O，连接SO，则利用面面垂直的性质得出SO⊥平面ABCD，即SO为棱锥的高，求出三棱锥S-ACD和三棱锥F-ACD的体积，则V_S-FAC=V_S-ACD-V_F-ACD．

解答 （1）证明：连接BD交AC于点E，连接EF
∵四边形ABCD是菱形，
∴E是BD的中点，又F是SD的中点，
∴EF∥SB，
又EF?平面FAC，SB?平面FAC，
∴SB∥平面FAC．
（2）解：取AB的中点O，连接SO，
∵SA=SB=AB=2，∴SO=$\sqrt{3}$，SO⊥AB，
∵侧面SAB⊥底面ABCD，侧面SAB∩底面ABCD=AB，SO⊥AB，SO?平面SAB，
∴SO⊥平面ABCD，
∵${S_{△ACD}}=\frac{1}{2}\;•\;2\;•\;2sin120°=\sqrt{3}$，
∴V_S-ACD=$\frac{1}{3}{S}_{△ACD}•SO$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\sqrt{3}$=1．
∵F是SD的中点，
∴V_F-ACD=$\frac{1}{2}$V_S-ACD=$\frac{1}{2}$．
∴V_S-FAC=V_S-ACD-V_F-ACD=1-$\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．