Question

7．在正六棱锥P-ABCDEF中，AB=1，若平面PAB⊥平面PDE，则PA=$\frac{{\sqrt{7}}}{2}$，该正六棱锥的体积是$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 取AB的中点M，DE的中点N，连接MN，PM，PN，则MN=$\sqrt{3}$，利用面PAB⊥平面PDE，可得PM⊥PN，求出PM，可得PA，求出正六棱锥的高，可得正六棱锥的体积．

解答 解：取AB的中点M，DE的中点N，连接MN，PM，PN，则MN=$\sqrt{3}$
∵正六棱锥P-ABCDEF中，平面PAB⊥平面PDE，
∴PM⊥PN，
∴PM²+PN²=MN²，
∴PM=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴PA=$\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{6}{4}}$=$\frac{{\sqrt{7}}}{2}$，
正六棱锥的高=$\sqrt{\frac{7}{4}-1}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴正六棱锥的体积V=$\frac{1}{3}×6×\frac{\sqrt{3}}{4}×{1}^{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{4}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{7}}}{2}$，$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的性质，考查正六棱锥的体积，考查学生的计算能力，正确求出PA是关键．