Question

16．如图，四面体ABCD中，AB，BC，CD，BD两两垂直，BC=BD=2，点E是CD的中点，异面直线AD与BE所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{10}$，则直线BE与平面ACD所成角的正弦值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 建立空间直角坐标系，设A（0，0，h），根据异面直线AD与BE所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{10}$计算h，再求出平面ACD的法向量$\overrightarrow{n}$，则直线BE与平面ACD所成角的正弦值为|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{BE}$＞|．

解答 解以BC，BD，BA为坐标轴建立空间直角坐标系如图：
设AB=h，则A（0，0，h），B（0，0，0），C（2，0，0），D（0，2，0），E（1，1，0）．
∴$\overrightarrow{AD}$=（0，2，-h），$\overrightarrow{BE}$=（1，1，0），∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BE}$=2，|$\overrightarrow{AD}$|=$\sqrt{4+{h}^{2}}$，|$\overrightarrow{BE}$|=$\sqrt{2}$，
∴cos＜$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BE}$＞=$\frac{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BE}}{|\overrightarrow{AD}||\overrightarrow{BE}|}$=$\sqrt{\frac{2}{4+{h}^{2}}}$．
∵异面直线AD与BE所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{10}$，∴$\sqrt{\frac{2}{4+{h}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，解得h=4．
∴$\overrightarrow{AD}$=（0，2，-4），$\overrightarrow{CD}$=（-2，2，0）．
设平面ACD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）．
则$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}$=0，$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}$=0，即$\left\{\begin{array}{l}{2y-4z=0}\\{-2x+2y=0}\end{array}\right.$．令z=1，得$\overrightarrow{n}$=（2，2，1）．
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}$=4，|$\overrightarrow{n}$|=3，
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{BE}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{BE}|}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∴直线BE与平面ACD所成角的正弦值为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查了空间角的计算，通常采用空间向量进行计算．