Question

8．观察下列等式
l+2+3+…+n=$\frac{1}{2}$n（n+l）；
l+3+6+…+$\frac{1}{2}$n（n+1）=$\frac{1}{6}$n（n+1）（n+2）；
1+4+10+…$\frac{1}{6}$n（n+1）（n+2）=$\frac{1}{24}$n（n+1）（n+2）（n+3）；
可以推测，1+5+15+…+$\frac{1}{24}$n（n+1）（n+2）（n+3）=$\frac{1}{120}$n（n+1）（n+2）（n+3）（n+4），（n∈N^*）．

Answer 1

分析 根据已知中的等式，分析出第K个等式右边系数和因式个数的变化规律，归纳可得答案．

解答 解：根据已知中的等式：
l+2+3+…+n=$\frac{1}{2}$n（n+l）；
l+3+6+…+$\frac{1}{2}$n（n+1）=$\frac{1}{6}$n（n+1）（n+2）；
1+4+10+…$\frac{1}{6}$n（n+1）（n+2）=$\frac{1}{24}$n（n+1）（n+2）（n+3）；
归纳可得：第K个等式右边系数的分母是K!，后面依次是从n开始的K个连续整数的积，
故1+5+15+…+$\frac{1}{24}$n（n+1）（n+2）（n+3）=$\frac{1}{120}$n（n+1）（n+2）（n+3）（n+4），（n∈N^*）
故答案为：$\frac{1}{120}$n（n+1）（n+2）（n+3）（n+4），（n∈N^*）

点评 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．