Question

4．如图所示，四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，∠ADC=∠DCB=90°，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC⊥底面ABCD，E为AB的中点．
（1）求证：平面PDE⊥平面PAC；
（Ⅱ）求直线PC与平面PDE所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）点C为坐标原点建立空间直角坐标系，求出向量$\overrightarrow{DE}$，$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{CP}$的坐标，根据数量积得出DE⊥AC，DE⊥CP，故而DE⊥平面PAC，于是平面PDE⊥平面PAC；
（II）求出平面PDE的法向量$\overrightarrow{n}$，计算$\overrightarrow{n}$与$\overrightarrow{PC}$的夹角，则直线PC与平面PDE所成的角的正弦值等于|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{PC}$＞|．

解答 解：（I）以点C为坐标原点，以直线CD，CB，CP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系C-xyz
则C（0，0，0），A（2，1，0），B（0，3，0），P（0，0，2），D（2，0，0），E（1，2，0）．
∴$\overrightarrow{DE}=（{-1，2，0}）$，$\overrightarrow{CA}=（{2，1，0}）$，$\overrightarrow{CP}=（{0，0，2}）$，
∴$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{CA}=（{-1，2，0}）•（{2，1，0}）=0$，$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{CP}=（{-1，2，0}）•（{0，0，2}）=0$，
∴DE⊥CA，DE⊥CP，
又CP∩CA=C，AC?平面PAC，CP?平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，∵DE?平面PDE，
∴平面PDE⊥平面PAC．
（Ⅱ）$\overrightarrow{DE}=（{-1，2，0}），\overrightarrow{PE}=（{1，2，-2}）$，
设$\overrightarrow n=（{x，y，z}）$是平面PDE的一个法向量，则$\overrightarrow n•\overrightarrow{DE}=\overrightarrow n•\overrightarrow{PE}=0$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-x+2y=0}\\{x+2y-2z=0}\end{array}\right.$，
令x=2，则y=1，z=2，即$\overrightarrow n=（{2，1，2}）$，
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CP}$=4，|$\overrightarrow{n}$|=3，|$\overrightarrow{CP}$|=2，
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{CP}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CP}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{CP}|}$=$\frac{2}{3}$．
∴直线PC与平面PDE所成的角的正弦值为$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了面面垂直的判定，线面角的计算，空间向量在几何证明中的应用，属于中档题．