Question

11．设函数f（x）=ax³+bx+c（a＞0）为奇函数，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线x-3y-1=0垂直，导函数f′（x）的最小值为-6，求a、b、c的值．

Answer 1

分析 运用奇函数的定义可得f（-x）=-f（x），可得c=0，求出导数，由二次函数的最值，可得b=-6，再由导数的几何意义和两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得a=1．

解答 解：由f（x）为奇函数，可得f（-x）=-f（x），
即-ax³-bx+c=-ax³-bx-c，可得c=0，
由f′（x）=3ax²+b（a＞0）的最小值为-6，即有b=-6．
又直线x-3y-3=0的斜率为$\frac{1}{3}$，
切线与已知直线垂直，所以切线斜率为-3．
因此，f′（1）=3a+b=-3，
解得a=1，b=-6，c=0．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查奇函数的定义和两直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查运算能力，属于中档题．